Решим уравнение

\((2x^2+3)^2-12(2x^2+3)+11=0 \qquad (1)\)

путем введения новой переменной.

Обозначим \(2x^2 + 3\) через \(y\):

\(2x^2 + 3 = y.\)

Тогда уравнение (1) приводится к квадратному уравнению с неизвестной \(y\):

\(y^2 - 12y + 11 = 0. \qquad (2)\)

Решим уравнение (2) методом дискриминанта.

Общий вид квадратного уравнения:

\(ay^2+by+c=0.\)

Для уравнения (2): \(a=1, b=-12, c=11.\)

Находим дискриминант:

\(D=b^2-4ac=(-12)^2-4\cdot1\cdot11=144-44=100 > 0.\)

Так как D>0, поэтому квадратное уравнение имеет два действительных корня, которые вычисляются по следующей формуле:

\(y_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-12) \pm \sqrt{100}}{2\cdot 1} = \frac{12 \pm 10}{2}= \frac{2(6 \pm 5)}{2} = 6 \pm 5.\)

То есть,

\(y_1=6-5=1.\)

\(y_2=6+5=11.\)

Отсюда

\(2x^2+3=1\)

и

\(2x^2+3=11.\)

Решим уравнение \(2x^2+3-1=0\):

\(2x^2+3-1=0\)

\(2x^2+2=0\)

\(2x^2=-2\)

\(x^2=-1\)

Так как квадрат ни одного действительно числа не меньше 0, поэтому уравнение \(x^2=-1\) не имеет действительных корней.

Решим уравнение \(2x^2+3-11=0\):

\(2x^2+3-11=0\)

\(2x^2-8=0\)

\(2x^2=8\)

\(x^2=4\)

\(x=\pm\sqrt{4}\)

\(x_{1,2}=\pm 2.\)

Таким образом, уравнение (1) имеет два решения:

$$x_1=-2,x_2=2.$$

Проверка.

\(\begin{multline}1.\quad(2\cdot(-2)^2+3)^2-12(2\cdot(-2)^2+3)+11=(2\cdot4+3)^2-12(2\cdot4+3)+11=\\=11^2-12\cdot11+11=121-132+11=-11+11=0.\end{multline}\)
\(\begin{multline}2.\quad(2\cdot2^2+3)^2-12(2\cdot2^2+3)+11=(2\cdot4+3)^2-12(2\cdot4+3)+11=\\=11^2-12\cdot11+11=121-132+11=-11+11=0.\end{multline}\)