Решим уравнение
(2x2+3)2−12(2x2+3)+11=0(1)
путем введения новой переменной.
Обозначим 2x2+3 через y:
2x2+3=y.
Тогда уравнение (1) приводится к квадратному уравнению с неизвестной y:
y2−12y+11=0.(2)
Решим уравнение (2) методом дискриминанта.
Общий вид квадратного уравнения:
ay2+by+c=0.
Для уравнения (2): a=1,b=−12,c=11.
Находим дискриминант:
D=b2−4ac=(−12)2−4⋅1⋅11=144−44=100>0.
Так как D>0, поэтому квадратное уравнение имеет два действительных корня, которые вычисляются по следующей формуле:
y1,2=−b±√D2a=−(−12)±√1002⋅1=12±102=2(6±5)2=6±5.
То есть,
y1=6−5=1.
y2=6+5=11.
Отсюда
2x2+3=1
и
2x2+3=11.
Решим уравнение 2x2+3−1=0:
2x2+3−1=0
2x2+2=0
2x2=−2
x2=−1
Так как квадрат ни одного действительно числа не меньше 0, поэтому уравнение x2=−1 не имеет действительных корней.
Решим уравнение 2x2+3−11=0:
2x2+3−11=0
2x2−8=0
2x2=8
x2=4
x=±√4
x1,2=±2.
Таким образом, уравнение (1) имеет два решения:
x1=−2,x2=2.
Проверка.
1.(2⋅(−2)2+3)2−12(2⋅(−2)2+3)+11=(2⋅4+3)2−12(2⋅4+3)+11==112−12⋅11+11=121−132+11=−11+11=0.
2.(2⋅22+3)2−12(2⋅22+3)+11=(2⋅4+3)2−12(2⋅4+3)+11==112−12⋅11+11=121−132+11=−11+11=0.
